Kinematik med funktioner

Rörelse kan tydligt beskrivas med hjälp av matematiska funktioner. Detta inlägg tar upp funktionerna för rörelser i en dimension samt visar hur formler för hastighet och position vid likformigt accelererad rörelse kan beräknas med hjälp av differential- och integralkalkyl.

Kort om funktionerna

Varje partikel har exakt en position vid varje tidpunkt. Detta är fallet i klassisk mekanik, vilket gör att position, hastighet och acceleration kan beskrivas som funktioner av tiden. Tiden blir då den oberoende variabeln. Vi brukar utgå från att tiden börjar räknas när det intervall funktionerna beskriver börjar. Alltså behövs ingen begynnelsetidpunkt,  t_0 . Utan  \Delta t = t - 0 = t .

Vi kan också visa att vid varje tidpunkt måste partikeln ha en hastighet (som dock kan vara 0). Eftersom samma hastighet kan förekomma vid flera olika tidpunkter, men det inte är möjligt med fler än en hastighet vid någon tidpunkt, så kan hastigheten vara en funktion av tiden, men inte tvärtom.

Samma sak gäller också acceleration.

Om vi betecknar positioner med  x så får vi följande funktioner:

  • Position av tid:  x(t)
  • Hastighet av tid:  v(t)
  • Acceleration av tid:  a(t)

 

Derivata

Derivatan till en funktion är i sig en funktion som ger ändringshastigheten hos funktionen i varje tidpunkt. Detta kan grafiskt tolkas som lutningen hos en tangent till funktionen i aktuell punkt. Om funktionen är  x(t) , så kan derivatans definition kan skrivas:

 \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}= x'(t)

Detta är också definitionen för momentanhastighet och vi kan skriva.

 v(t) = x'(t)

På samma sätt kommer vi fram till att

 a(t) = v'(t) = x''(t)

Om vi känner funktionen för en partikels position med avseende på tiden, så kan vi med hjälp av derivering bestämma både hastigheten och accelerationen som funktioner av tiden.

Primitiv funktion

Om vi istället har en funktion,  f(x) , och vill bestämma en ny funktion,  F(x) så att denna har  f(x) som derivata. Det vill säga att  f(x) = F'(x) . Då kallas  F(x) för en primitiv funktion till  f(x) .

Det finns många olika funktioner,  F(x) , som fungerar så därför måste man lägga till en godtycklig konstant när den primitiva funktionen bestäms. Denna konstant skulle försvunnit vid en derivering. Konstanten värde kan inte bestämmas utan att extra villkor läggs till. Ofta uttalar sig dessa om position och hastighet när intervallet börjar och kallas då för begynnelsevillkor.

 Formler för likformigt accelererad rörelse

Vi ska nu börja med att bestämma de välkända formlerna för likformigt accelererad rörelse med denna metod.

Accelerationen är konstant, vilket vi kan skriva som

 a(t) = a

Hastigheten ges då av den primitiva funktionen till denna.

 v(t) = at + C_1

För att bestämma konstanten kan vi låta begynnelsehastigheten vara  v_{0} = v(0) , vilket ger oss

 v(t) = v_0 + at

Nu bestämmer vi positionen genom att bestämma den primitiva funktionen igen.

 \displaystyle x(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2} + C_2

Begynnelsevillkoret  x(0)=x_0 ger oss

 \displaystyle x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}

Vi har alltså fått de två välkända formlerna för hastighet och position vid likformigt accelererad rörelse.

Värt att notera är att i många formelsamlingar har  x_0 satts till 0.

 

Detta visar hur vi snabbt kan visa att formlerna för likformigt accelererad rörelse kan härledas från att accelerationen är konstant. I nästa inlägg ska vi se hur formler för andra varianter av acceleration kan härledas.


Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

(C) Johan Esepnberg, 2015